第26章 一种M素数的超级算法

  “通过域论，构造二次域q(√3)的基本代数式，如w=2+√3与其共軛w=2-√3……再利用有限域上的阶和二次剩余理论，就能很轻鬆完成检验法充分性和必要性的证明。”

  “不过，域论是抽象代数的產物了，难不成要把域论搞出来？”

  “那也太麻烦了，需要先把群论和环论的概念明確了，才能进一步推导域论……”

  罗伦暗暗摇头。

  域论是群论和环论的高级综合体，其定义、定理和应用均建立在对前两者的深刻理解之上。

  一般情况下，需要先掌握了群的基本性质，研究了环的结构，最终才能通过环的局部化和扩张化定义『域』和研究『域』的性质。

  想要跳过群和环的概念，直接去掌握域，也不是不可能，但非常难以理解。

  “完整的域论，太复杂了，不考虑……那能绕开域论完成证明吗？”

  罗伦在脑海中思索了一阵，目光微闪：

  “没法完全绕过，但却可以通过初等数论与入门级代数数论的概念，如二次剩余和二次域整数环的基本性质，来进行简化。”

  “另外，关於抽象映射的那部分计算，似乎可以通过二项式定理和费马小定理来验证？”

  “对，没错，的確可以！”

  “然后是关於q(√3)及其上的加法、乘法、共軛、范数等运算，这一块实际是个交换环，如果拒绝环结构的出现，那就需要反覆手动展开二项式定理和对模运算进行繁琐的分类討论……”

  “虽略显笨拙，但完全可行。”

  念及此，罗伦坐直身子，拿起桌面上的写字笔，快速在一张空白纸张上书写起了自己的思路。